Historia de la trigonometría

La historia de la trigonometría y de las funciones trigonométricas podría extenderse por más de 4000 años. Los babiloniosdeterminaron aproximaciones de medidas de ángulos o de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos. Varias tablas grabadas sobre arcilla seca lo testimonian. Así, por ejemplo, una tablilla babilónica escrita en cuneiforme, denominada Plimpton 322 (en torno al 1900 a. C.) muestra quince ternas pitagóricas y una columna de números que puede ser interpretada como una tabla de funciones trigonométricas; sin embargo, existen varios debates sobre si, en realidad, se trata de una tabla trigonométrica.

La historia de la trigonometría comienza con los Babilónicos y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.

300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.

Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.

Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos hindúes utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas

El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.

A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

Razones trigonométricas 

Seno

El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por sen B.

Coseno

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por cos B.

Tangente

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

Se denota por tg B.

Cosecante

La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B.

Se denota por cosec B.

Secante

La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

Cotangente

La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por cotg B.

  

Problemas y aplicación de las razones trigonométricas 

1. El extremo superior de una escalera esta apoyada en una pared de forma que alcanza una altura de 3m. Si forma un ángulo 51º con el suelo, ¿Cuál es el largo de la escalera?

2. Un observador se encuentra en un faro al pie de un acantilado. Esta a 687m sobre el nivel del mar, desde este punto observa un barco con un ángulo depresión de 23º. Se desea saber a que distancia de la base del acantilado se encuentra el barco.

AREA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Multiplicar la longitud de los catetos y dividirlo entre 2

Un observador tiene un nivel visual de 1.70 m de altura, y se encuentra a 30 m de una antena. Al ver la punta de la antena, su vista forma un ángulo de elevación de 33° ¿Cuál es la altura de la antena? Solución: Utilizamos la siguiente figura, en la cual calcularemos h primero.

Por lo tanto, la altura de la antena = h + el nivel visual del observador. De modo que la altura de la antena es: 19.48 + 1.70 = 21.18 m.

Gráficas de funciones trigonométricas

   Las gráficas de las funciones trigonométricas  poseen propiedades matemáticas muy interesantes como máximo, mínimo, asíntotas verticales, alcance y periodo entre otras.

Es necesario estudiar la forma de la gráfica de cada función trigonométrica. Esta forma está asociada a las características particulares de cada función. En la figura de abajo se presentan algunas gráficas de funciones trigonométricas.

     Al establecer relaciones entre dos conjuntos mediante las funciones trigonométricas se establecen relaciones como y=sen(x), y=cos(x), y=tan(x), y=cot(x), y=csc(x) o y=sec(x). La expresión en el paréntesis se denomina argumento de la función (dominio) mientras que yrepresenta el alcance (imágenes).

     Las gráficas de estas funciones se extienden sobre los ejes coordenados, si es sobre el eje de x, tienen la característica de repetirse por intervalos. Esto significa que cada cierta cantidad de radianes, una parte de la gráfica de la función es la misma (periodo). La extensión sobre el eje de y se conoce como alcance. Veamos cada función particular en detalle.

     El modelo de las gráficas de las funciones trigonométricas se obtiene evaluando la función para ángulos que forman una revolución completa.

Gráfica de la Función Seno del ángulo

El modelo de la gráfica de la función seno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función seno del ángulo utiliza la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función seno del ángulo comienza en 0 y termina en2π. En la figura de abajo se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función seno del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función seno del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.

Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de la gráfica de la función y=sen(x).

Su dominio es el conjunto de números reales

Su alcance es el conjunto de números mayores o iguales que menos uno hasta los números menores o iguales que uno.

Su intercepto en el eje de y es el punto (0,0).

El eje de x será el eje de referencia.

El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (π/2,1).

El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (3π/2,-1).

Su periodo es 2π.

Ejemplo: (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Trace la gráfica de la función f(x) = -2sen(x+π/2) + 1.

Solución:

Características:    El alcance es el conjunto de imágenes correspondientes al intervalo [-1, 3].    La intersección en el eje de y es el punto (0, -1).    Tiene máximo en el punto (π, 3) y el mínimo en el punto (0, -3) .    El periodo de esta función es 2π .

Gráfica de la Función Coseno del ángulo

El modelo de la gráfica de la función coseno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función coseno del ángulo utiliza lax de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función coseno del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de abajo se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función coseno del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función coseno del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.

Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de la gráfica de la función y=cos(x).

Su dominio es el conjunto de números reales

Su alcance es el conjunto de números mayores o iguales que menos uno hasta los números menores o iguales que uno.

Su intercepto en el eje de y es el punto (0,1).

El eje de x será el eje de referencia.

El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (0,1) y (2π,1).

El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (π,-1).

Su periodo es 2π.

Ejemplo:  (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Trace la gráfica de la función f(x) = 2cos(x-π/6) + 1.

Solución:

Características: El alcance es el conjunto de imágenes correspondientes al intervalo [-1, 3]. El ciclo fundamental no interseca el eje de y. Tiene máximo en los puntos (π/6, 3) y (13π/6, 3) y el mínimo en el punto (7π/6, -1) . El periodo de esta función es 2π .

Gráfica de la Función Tangente del ángulo

El modelo de la gráfica de la función tangente del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función tangente del ángulo es el cociente de la y y  la x de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función tangente del ángulo comienza en -π/2 y termina en π/2. En la figura de la derecha se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función tangente del ángulo x. Esta figura muestra eldesarrollo de la  gráfica de la función tangente del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.

Esta función tiene asíntotas en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de la gráfica de esta función.

Su dominio es toda x≠π/2±nπ.

Su alcance es el conjunto de todos los números reales.

Su intercepto en el eje de y es el punto (0,0).

El eje de x será el eje de referencia.

Las asíntotas del ciclo fundamental son x=±π/2.

Su periodo es π.

Ejemplo:  (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Trace la gráfica de la función f(x) = tan[2(x-π)].

Solución:

Características: El dominio es toda x≠π/4±nπ/2. El alcance es el conjunto de todos los números reales. La intersección en el eje de x es el punto (π, 0). Tiene asíntotas del ciclo fundamental estan en x=3π/4 y x=5π/4. El periodo de esta función es π/2 .

Gráfica de la Función Cotangente del ángulo

El modelo de la gráfica de la función cotangente del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función cotangente del ángulo es el cociente de la x y la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función cotangente del ángulo comienza en 0 y termina en π. En la figura de la derecha se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función cotangente del ángulo x. Esta figura muestra eldesarrollo de la gráfica de la función cotangente del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.

Esta función tiene asíntotas en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de la gráfica de esta función.

Su dominio es toda x≠±nπ.

Su alcance es el conjunto de todos los números reales.

No tiene intercepto en el eje de y.

El eje de x será el eje de referencia.

Las asíntotas del ciclo fundamental son x=±nπ.

Su periodo es π.

Ejemplo:  (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Trace la gráfica de la función f(x) = cot[(x-π/4)].

Solución:

Características: El dominio es toda x≠π/4±nπ. El alcance es el conjunto de todos los números reales. La intersección en el eje de x es el punto (3π/4, 0). Tiene asíntotas del ciclo fundamental estan en x=π/4 y x=5π/4. El periodo de esta función es π.

Gráfica de la Función Secante del ángulo

El modelo de la gráfica de la función secante del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas o buscando los recíprocos de la funcion coseno. Recuerde que la función secante del ángulo es el recíproco de la x de los arcos del círculo unitario.El ciclo fundamental de la función secante del ángulo comienza en -π/2 y termina en 3π/2. En la figura de la derecha se observa la relación entre la funcion coseno y la gráfica de la función secante del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función secante del ángulo x a partir de la grafica de la función coseno del ángulo.

Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el ciclo fundamental de su gráfica. Tambien tiene tres asíntotas verticales en su ciclo fundamental. Veamos las características de la gráfica de la función y=sec(x).

Su dominio es el conjunto de números reales excepto los multiplos impares de π/2.

Su alcance es el conjunto de todos los números menores o iguales que menos uno y todos los números mayores o iguales que uno.

Su intercepto en el eje de y es el punto (0,1).

El eje de x será el eje de referencia.

El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (π,-1).

El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (0, 1).

Las asíntotas del ciclo fundamental son las ecuaciones x=-π/2, x=π/2 y x=3π/2.

Su periodo es 2π.

Ejemplo:  (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Trace la gráfica de la función f(x) = -2sec[(x+π/2)].

Solución:

Características: El dominio es toda x≠nπ. El alcance es (-∞, -2]U[2, ∞). No interseca los ejes. Tiene asíntotas del ciclo fundamental estan en x=-π, x=0 y x=π. Tiene máximo en el punto (-π/2, -2) y el mínimo en el punto (π/2, 2) . El periodo de esta función es 2π.

Gráfica de la Función Cosecante del ángulo

El modelo de la gráfica de la función cosecante del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas o buscando los recíprocos de la funcion seno. Recuerde que la función cosecante del ángulo es el recíproco de la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función cosecante del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de la derecha se observa la relación entre la funcion seno y la gráfica de la función cosecante del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función cosecante del ángulo x a partir de la grafica de la función seno del ángulo.

     Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el ciclo fundamental de su gráfica. Tambien tiene tres asíntotas verticales en su ciclo fundamental. Veamos las características de la gráfica de la función y=csc(x).

Su dominio es el conjunto de números reales excepto los multiplos impares de π/2.

Su alcance es el conjunto de todos los números menores o iguales que menos uno y todos los números mayores o iguales que uno.

Su intercepto en el eje de y es el punto (0,1).

El eje de x será el eje de referencia.

El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (π,-1).

El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (0, 1).

Las asíntotas del ciclo fundamental son las ecuaciones x=-π/2, x=π/2 y x=3π/2.

Su periodo es 2π.

Ejemplo:  (presione aquí para verlo en forma interactiva)

Trace la gráfica de la función f(x) = 2csc[(x-π/2)].

Solución:

Características: El dominio es toda x≠nπ/2. El alcance es (-∞, -2]U[2, ∞). No interseca ninguno de los ejes. Tiene asíntotas del ciclo fundamental estan en x=π/2, x=3π/2 y x=5π/2. Tiene máximo en el punto (2π, -2) y el mínimo en el punto (π, 2). El periodo de esta función es 2π.

Identidades trigonométricas 

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

Notación: se define sin²α como (sin α)². Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.

1Relación seno coseno

cos² α + sen² α = 1

2Relación secante tangente

sec² α = 1 + tg² α

3Relación cosecante cotangente

cosec² α = 1 + cotg² α

Ejemplos:

1 Sabiendo que tg α = 2, y que  180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

2 Sabiendo que sen α = 3/5, y que  90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

Ejercicios de identidades trigonométricas

Ley de los senos y los cosenos

Ley de seno - definición 

La ley de seno es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera.  En ocasiones necesitarás resolver ejercicios que envuelven triángulos que no son rectángulos.  La ley del Seno y la del coseno son muy convenientes para resolver problemas de triángulos en los que no hay ningún ángulo rectángulo como los discutidos en la sección de trigonometría básica. 

Veamos el siguiente triángulo:

Podemos realizar el siguiente procedimiento:

En ΔAMC  aplicamos el seno de A y obtenemos        y/b = sen A    

despejamos para y, obtenemos                     ------>           y= b sen A

En ΔBMC   aplicamos el seno de B y obtenemos            y/a = sen B  

despejamos para y, obtenemos                   ------->              y= a sen B

Igualamos ambas expresiones y=y de forma que:      b sen A = a sen B

Entonces:

La ley del seno nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a el en todo triángulo es constante. 

La ley del seno se escribirá como sigue:

Ejemplo 1:

Encuentra la medida del lado b para el triángulo ABC según demostrado en la siguiente figura:

 

Estrategia para resolver el ejercicio:

Determina los datos:

a=10m

A=30°

B =40°

b = ?

Utiliza la siguiente ecuación:

Despeja para la desconocida:

Reemplaza los valores conocidos en la ley del seno:

 Usa una calculadora o una tabla trigonométrica para ir desde el seno de A hasta obtener la medida del ángulo A según demostrado:

La respuesta es:  el ángulo obtenido es b=13m

Ley del coseno

En ocasiones necesitamos resolver ejercicios en los que tenemos triángulos que no son rectángulos.  La Ley del seno y la del coseno se aplica para todos los triángulos.  Veamos el siguiente triángulo:

 

Dado un Δ supongamos que conocemos el tamaño de los lados a y b, así como la medida de c.  Podemos realizar el siguiente procedimiento para construir la ecuación:

ΔαMβ tiene lados: y, c , b-x

Usando el teorema de Pitágoras:                           c²   = y² + (b – x)²

= y² + b² – 2bx + x²

c²= (x² +y²) + b²– 2bx

ΔγMβ tiene lados:  x, y, a por lo tanto:                    a² = x² + y² 

entonces podemos sustituir en la ecuación anterior:  c²= (a² ) + b²– 2bx 

Del ΔγMβ también podemos obtener que 

cos γ = x/a      t          x= a cos γ

sustituyendo:  c²= a² +b² – 2b(a cos γ)

La ecuación obtenida es la siguiente:

En resumen, si hicieramos el mismo procedimiento para cada una de las variables a y b obtendríamos las siguientes ecuaciones:

Ejemplo:

En el siguiente triángulo α= 60°, b= 3m y c=4m.  ¿Cuánto es a?  

Estrategia:

Los datos son:

α = 60° 

b= 3m 

c = 4m

 a=?

La ecuación a utilizar es:

 Reemplaza los valores en la ecuación como se demuestra a continuación:

 a²= b²  + c²– 2bc cos α

a²= (3m)²  + (4m)²– (2) (3m) (4m) cos 60°

a²= 9m²  + 16m² – (24m²) (0.8660) 

a²= 25m² – (24m²) (0.5)  = 

 a²= 25m² – 12m²

a²= 13m²

Ahora hay que buscar la raíz cuadrada usando la calculadora: 

 La respuesta es: la medida del lado a es 3.6m